一階微分方程有哪些解法

　　一階線性微分方程解法：

　　dy/dx+P(x)y=Q(x)，先令Q(x)=0則dy/dx+P(x)y=0，解得y=Ce－∫P(x)dx，再令y=ue－∫P(x)dx代入原方程，解得u=∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C，所以y=e－∫P(x)dx［∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C］，即y=Ce－∫P(x)dx+e－∫P(x)dx，∫Q(x)e∫P(x)dxdx為一階線性微分方程的通解。

　　齊次方程解法：

　　dy/dx=φ(y/x)，令u=y/x則y=xu，dy/dx=u+xdu/dx，所以u+xdu/dx=φ(u),即du/［φ(u)-u］=dx/x，兩端積分，得∫du/［φ(u)-u］=∫dx/x，最後用y/x代替u，便得所給齊次方程的通解。

　　一階微分方程有兩種形式：y'=p(y/x)和y'=P(x)y+Q(x)。形如y'+P(x)y=Q(x)的微分方程稱為一階線性微分方程，Q(x)稱為自由項。線性指的是方程簡化後的每一項關於y、y'的指數為1。

　　一階線性微分方程的求解一般採用常數變易法，透過常數變易法，可求出一階線性微分方程的通解。一階指的是方程中關於Y的導數是一階導數，一階非齊次線性方程的通解等於對應的齊次線性方程的通解與非齊次線性方程的一個特解之和。

　　一階微分方程就是指只有一階導數或微分的微分方程，數學中的線性運算是指加減或乘以常數的運算。而在微分方程中，自變數對未知函式y而言相當於常數，微分方程中的線性是指未知函式y和它的各階導數或微分只有加減或只是乘以自變數或自變數的函式。而未知函式y和它的各階導數或微分之間沒有相乘或其他形式的運算或函式形式

　　當Q(x)≡0時，方程為y'+P(x)y=0，這時稱方程為一階齊次線性微分方程。(因為y'是關於y及其各階導數的1次的，P(x)y是一次項，它們同時又是關於x及其各階導數的0次項，所以為齊次。)

　　當Q(x)≠0時，稱方程y'+P(x)y=Q(x)為一階非齊次線性微分方程。(由於Q(x)中未含y及其導數，所以是關於y及其各階導數的0次項，因為方程中含一次項又含0次項，所以為非齊次。)。