絕對值三角不等式｜a｜－｜b｜｜≤｜a＋b｜≤｜a｜＋｜b｜當a、b同號時，｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜成立；當a、b異號時，絕對值三角不等式｜｜a｜－｜b｜｜＝｜a±b｜成立。｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a－b｜≤｜a｜＋｜b｜相反。<br><br>｜a｜－｜b｜｜≤｜a＋b｜≤｜a｜＋｜b｜的不等式當a、b同方向時（如果是實數，就是正負號相同）｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜成立；當a、b異向（如果是實數，就是ab正負號不同）時，｜｜a｜－｜b｜｜＝｜a±b｜成立。<br><br>｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a－b｜≤｜a｜＋｜b｜的不等式，當a、b異向（如果是實數，就是ab正負號不同）時，｜a－b｜＝｜a｜＋｜b｜成立．當a、b同方向時（如果是實數，就是正負號相同）時，｜｜a｜－｜b｜｜＝｜a－b｜成立。<br><br>絕對值三角不等式公式｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a±b｜≤｜a｜＋｜b｜是由兩個雙邊不等式組成。
1、三維柯西不等式：(a^2+b^2+c^2)(d^2+e^2+f^2)>=(ad+be+cf)^2
2、證明：
左邊=(ad)^2+(be)^2+(cf)^2+[(ae)^2+(bd)^2]+[(af)^2+(cd)^2]+[(bf)^2+(ce)^2]
右邊=(ad)^2+(be)^2+(cf)^2+2(ad)*(be)+2(ad)*(cf)+2(be)*(cf)
根據均值不等式，有：
(ae)^2+(bd)^2>=2(ad)*(be)
(af)^2+(cd)^2>=2(ad)*(cf)
(bf)^2+(ce)^2>=2(be)*(cf)
所以左邊>=右邊，當且僅當ae=bd，af=cd，bf=ce時，等式成立
證畢。
3、柯西不等式是由大數學家柯西(Cauchy)在研究數學分析中的“流數”問題時得到的。但從歷史的角度講，該不等式應稱作Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式【柯西-布尼亞科夫斯基-施瓦茨不等式】因為，正是後兩位數學家彼此獨立地在積分學中推而廣之，才將這一不等式應用到近乎完善的地步。柯西不等式是由柯西在研究過程中發現的一個不等式，其在解決不等式證明的有關問題中有著十分廣泛的應用，所以在高等數學提升中與研究中非常重要，是高等數學研究內容之一。
1、二維形式
(a^2＋b^2)(c^2+d^2)≥(ac+bd)^2，等號成立條件：ad=bc
2、三角形式
√(a^2＋b^2)＋√(c^2＋d^2)≥√[(a－c)^2＋(b－d)^2]，等號成立條件：ad=bc（注：“√”表示平方根）
3、向量形式
α||β|≥|α·β|，α=(a1,a2,…,an)，β=(b1,b2,…,bn)（n∈N，n≥2），等號成立條件：β為零向量，或α=λβ（λ∈R）。
4、一般形式
(∑ai^2)(∑bi^2)≥(∑ai·bi)^2，等號成立條件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn，或ai、bi均為零。
柯西不等式是由柯西在研究過程中發現的一個不等式，其在解決不等式證明的有關問題中有著十分廣泛的應用，所以在高等數學提升中與研究中非常重要，是高等數學研究內容之一。