基礎解系的求法：
設n為未知量個數，r為矩陣的秩。只要找到齊次線性方程組的n-r個自由未知量，就可以獲得它的基礎解系。
例如：我們先透過初等行變換把係數矩陣化為階梯形，那麼階梯形的非零行數就是係數矩陣的秩。把每一個非零行最左端的未知量保留在方程組的左端，其餘n-r個未知量移到等式右端，再令右端n-r個未知量其中的一個為1，其餘為零，這樣可以得到n-r個解向量，這n-r個解向量構成了方程組的基礎解系。
基礎解系的求法：
設n為未知量個數，r為矩陣的秩。只要找到齊次線性方程組的n-r個自由未知量，就可以獲得它的基礎解系。
例如：我們先透過初等行變換把係數矩陣化為階梯形，那麼階梯形的非零行數就是係數矩陣的秩。把每一個非零行最左端的未知量保留在方程組的左端，其餘n-r個未知量移到等式右端，再令右端n-r個未知量其中的一個為1，其餘為零，這樣可以得到n-r個解向量，這n-r個解向量構成了方程組的基礎解系。
先求出齊次或非齊次線性方程組的一般解，即先求出用自由未知量表示獨立未知量的一般解的形式，然後將此一般解改寫成向量線性組合的形式，則以自由未知量為組合係數的解向量均為基礎解系的解向量。由此易知，齊次線性方程組中含幾個自由未知量，其基礎解系就含幾個解向量。
基礎解系是指方程組的解集的極大線性無關組，即若干個無關的解構成的能夠表示任意解的組合。基礎解系需要滿足三個條件：
(1)基礎解系中所有量均是方程組的解。
(2)基礎解系線性無關,即基礎解系中任何一個量都不能被其餘量表示。
(3)方程組的任意解均可由基礎解系線性表出，即方程組的所有解都可以用基礎解系的量來表示。
值得注意的是：基礎解系不是唯一的，因個人計算時對自由未知量的取法而異。
性質不同：特徵向量對應的特徵值是它所乘的那個縮放因子，特徵空間就是由所有有著相同特徵值的特徵向量組成的空間，還包括零向量。基礎解系針對有無數多組解的方程而言，若是齊次線性方程組則應是有效方程的個數少於未知數的個數，若非齊次則應是係數矩陣的秩等於增廣矩陣的秩，且都小於未知數的個數。
基礎解系是對於方程組而言的，方程組才有所謂的基礎解系，就是方程所有解的“基”。特徵值向量對於矩陣而言的，特徵向量有對應的特徵值，如果Ax＝ax，則x就是對應於特徵值a的特徵向量