射影定理證明方法

　　射影定理證明方法：可以根據歐幾里得提出的面積射影定理projectivetheorem規定“平面圖形射影面積等於被射影圖形的面積乘以圖形所在平面與射影面所夾角的餘弦。(即COSθ=S射影/S原）。”

　　因為射影就是將原圖形的長度（三角形中稱高）縮放，所以寬度是不變的，又因為平面多邊形的面積比=邊長的乘積比。所以就是圖形的長度（三角形中稱高）的比。

　　那麼這個比值應該是平面所成角的餘弦值。在兩平面中作一直角三角形，並使斜邊和一直角邊垂直於稜（即原多邊形圖的平面和射影平面的交線），則三角形的斜邊和另一直角邊就是其多邊形的長度比，即為平面多邊形的面積比。將此比值放到該平面中的三角形中去運算即可得證。

　　三角形中位線定理是三角形的中位線平行於第三邊（不與中位線接觸），並且等於第三邊的一半。

　　例如證明：已知△ABC中，D，E分別是AB，AC兩邊中點。求證DE平行於BC且等於BC/2。

　　過C作AB的平行線交DE的延長線於G點。

　　CG∥AD。

　　∠A=∠ACG。

　　∠AED=∠CEG、AE=CE、∠A=∠ACG（用大括號）。

　　△ADE≌△CGE（A.S.A)。

　　AD=CG(全等三角形對應邊相等)。

　　D為AB中點。

　　AD=BD。

　　BD=CG。

　　又BD∥CG。

　　BCGD是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）。

　　DG∥BC且DG=BC。

　　DE=DG/2=BC/2。

　　三角形的中位線定理成立。

　　逆定理一：在三角形內，與三角形的兩邊相交，平行且等於三角形第三邊一半的線段是三角形的中位線。

　　逆定理二：在三角形內，經過三角形一邊的中點，且與另一邊平行的線段，是三角形的中位線

　　1、做8個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，再做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成兩個正方形.

　　2、如此可以看到，這兩個正方形的邊長都是a + b，所以面積相等。即a的平方加b的平方，加4乘以二分之一ab等於c的平方，加4乘以二分之一ab，整理得a的平方加b的平方等於c的平方。