數集是如何擴充的?

　　1、設子空間上的一組基為{e1,e2,,er}任取一組整個空間上的基{f1,f2,,fn}把fi依次一個一個地放入子空間的基，比如{e1,e2,,er,f1},如果這組向量線性相關，則拿掉f1，如果線性無關，則留在裡面，擴充了一個，記f1=e_(r+1)再把f2放進去{e1,e2,,er,e_(r+1),f2}同上述過程一樣。最終得到一組線性無關的向量{e1,e2,es}容易看出{f1,f2,,fn}能與{e1,e2,es}互相線性表示得出{e1,e2,es}的極大無關組個數為n又因為{e1,e2,es}線性無關，所以s=n所以{e1,e2,en}就是擴充後的一組基。

　　2、數系擴充的過程體現了數學的發展和創造的過程,也體現了數學發生、發展的客觀需求.雖然學生知道自然數集、整數集、有理數集和實數集，瞭解它們之間的包含關係。

　　n是自然數集，包括正整數和零，是一個可列集。全體非負整數的集合通常稱非負整數集（或自然數集）。非負整數集包含0、1、2、3等自然數。1可整除任何自然數，其商仍為原自然數，所以1是任何自然數的約數。自然數1通常稱為單位。在N中除去零之後，其餘的自然數構成的數集稱為正整數集，常用符號N+或N*表示。

　　i是整數集，由全體整陣列成的集合叫整數集。它包括全體正整數、全體負整數和零。集合是指具有某種特定性質的具體的或抽象的物件彙總而成的集體。構成集合的這些物件則稱為該集合的元素。

　　集合中元素的數目稱為集合的基數，集合A的基數記作card(A)。當其為有限大時，集合A稱為有限集，反之則為無限集。一般的，把含有有限個元素的集合叫做有限集，含無限個元素的集合叫做無限集。