無偏估計量怎麼證明

　　無偏估計量證明：對於待估引數，不同的樣本值就會得到不同的估計值。這樣，要確定一個估計量的好壞，就不能僅僅依據某次抽樣的結果來衡量，而必須由大量抽樣的結果來衡量。對此，一個自然而基本的衡量標準是要求估計量無系統偏差。也就是說，儘管在一次抽樣中得到的估計值不一定恰好等於待估引數的真值，但在大量重複抽樣時，所得到的估計值平均起來應與待估引數的真值相同，換句話說，希望估計量的均值（數學期望）應等於未知引數的真值，這就是所謂無偏性（Unbiasedness）的要求。數學期望等於被估計的量的統計估計量稱為無偏估計量。

　　用無偏估計量來估計引數時沒有系統誤差。對於待估引數，不同的樣本值就會得到不同的估計值。這樣，要確定一個估計量的好壞，就不能僅僅依據某次抽樣的結果來衡量，而必須由大量抽樣的結果來衡量，對此，一個自然而基本的衡量標準是要求估計量無系統偏差。

　　儘管在一次抽樣中得到的估計值不一定恰好等於待估引數的真值，但在大量重複抽樣時，所得到的估計值平均起來應與待估引數的真值相同，換句話說，希望估計量的均值（數學期望）應等於未知引數的真值，這就是所謂無偏性（Unbiasedness）的要求。數學期望等於被估計的量的統計估計量稱為無偏估計量。

　　如果ξ～P（λ），那麼E（ξ）= D（ξ）= λ，其中P（λ）表示泊松分佈，無偏估計量的定義是：設（ξ∧）是ξ的一個估計量，若E（ξ∧）=ξ ，則稱ξ∧是ξ的無偏估計量。首先，因為ξ1、ξ2、ξ3 都是取自引數為λ的泊松總體的樣本，獨立同分布，所以它們的期望和方差都是λ ，則（1）無偏性E（λ1∧）= E（ξ1）= λ，E（λ2∧）=E[（ξ1+ξ2）/2]= （λ+λ）/2 = λ，E（λ3∧）= E[（ξ1+2*ξ2）/3]= （λ+2λ）/3 = λ，E（λ4∧）= E[（ξ1+ξ2+ξ3）/3]= （λ+λ+λ）/3 = λ ，（2）有效性，即最小方差性，D（λ1∧）= D（ξ1）= λ，D（λ2∧）= D[（ξ1+ξ2）/2]= [D（ξ1）+D（ξ2）]/4= （λ+λ）/4 = λ/2，D（λ3∧）= D[（ξ1+2*ξ2）/3]= [D（ξ1）+4D（ξ2）]/9= （λ+4λ）/9 = 5λ/9，D（λ4∧）= D[（ξ1+ξ2+ξ3）/3]= [D（ξ1+ξ2+ξ3）]/9 =（λ+λ+λ）/9 = λ/3，其中 D（λ4∧）= λ/3 最小，所以無偏估計量 λ4∧最有效。