1、三維柯西不等式：(a^2+b^2+c^2)(d^2+e^2+f^2)>=(ad+be+cf)^2
2、證明：
左邊=(ad)^2+(be)^2+(cf)^2+[(ae)^2+(bd)^2]+[(af)^2+(cd)^2]+[(bf)^2+(ce)^2]
右邊=(ad)^2+(be)^2+(cf)^2+2(ad)*(be)+2(ad)*(cf)+2(be)*(cf)
根據均值不等式，有：
(ae)^2+(bd)^2>=2(ad)*(be)
(af)^2+(cd)^2>=2(ad)*(cf)
(bf)^2+(ce)^2>=2(be)*(cf)
所以左邊>=右邊，當且僅當ae=bd，af=cd，bf=ce時，等式成立
證畢。
3、柯西不等式是由大數學家柯西(Cauchy)在研究數學分析中的“流數”問題時得到的。但從歷史的角度講，該不等式應稱作Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式【柯西-布尼亞科夫斯基-施瓦茨不等式】因為，正是後兩位數學家彼此獨立地在積分學中推而廣之，才將這一不等式應用到近乎完善的地步。柯西不等式是由柯西在研究過程中發現的一個不等式，其在解決不等式證明的有關問題中有著十分廣泛的應用，所以在高等數學提升中與研究中非常重要，是高等數學研究內容之一。
絕對值三角不等式｜a｜－｜b｜｜≤｜a＋b｜≤｜a｜＋｜b｜當a、b同號時，｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜成立；當a、b異號時，絕對值三角不等式｜｜a｜－｜b｜｜＝｜a±b｜成立。｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a－b｜≤｜a｜＋｜b｜相反。<br><br>｜a｜－｜b｜｜≤｜a＋b｜≤｜a｜＋｜b｜的不等式當a、b同方向時（如果是實數，就是正負號相同）｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜成立；當a、b異向（如果是實數，就是ab正負號不同）時，｜｜a｜－｜b｜｜＝｜a±b｜成立。<br><br>｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a－b｜≤｜a｜＋｜b｜的不等式，當a、b異向（如果是實數，就是ab正負號不同）時，｜a－b｜＝｜a｜＋｜b｜成立．當a、b同方向時（如果是實數，就是正負號相同）時，｜｜a｜－｜b｜｜＝｜a－b｜成立。<br><br>絕對值三角不等式公式｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a±b｜≤｜a｜＋｜b｜是由兩個雙邊不等式組成。
重要不等式等號成立條件是一正二定三相等，是指在用不等式A+B≥2√AB證明或求解問題時規定的要求。
一正：A、B都必須是正數。
重要不等式主要應用於求某些函式的最值及證明不等式。其可表述為：兩個正實數的算術平均數大於或等於它們的幾何平均數。
二定：在A+B為定值時，便可以知道A*B的最大值；在A*B為定值時，就可以知道A+B的最小值。
三相等：當且僅當A、B相等時，等號才成立；即在A＝B時，A+B＝2√AB。
算術證明：
如果a、b都為實數，（a-b）²≥0，所以a2+b2≥2ab，當且僅當a=b時等號成立，證明如下：
∵(a-b)2≥0
∴a2+b2-2ab≥0
∴a2+b2≥2ab，即－2ab≥2ab，
整理可得≥4ab，
如果a、b都是正數，那麼，當且僅當a=b時等號成立。（這個不等式也可理解為兩個正數的算術平均數大於或等於它們的幾何平均數，當且僅當a=b時等式成立)
不等式恆成立即一個式子恆大於0，或恆小於0，△是根的判別式，當△＞0，有兩個解，當△=0有一個解，當△＜0時，無解；因為不等式恆成立，就是沒有等於0的解，也就是說是無解的，所以需要△＜0。
△小於0對於二次函式來說，與X軸就沒有交點，整個影象要麼全在X軸上方或在X軸下方。 ...
等號成立的充要條件是a=b。重要不等式，是指在初等與高等數學中常用於計算與證明問題的不等式。包括，排序不等式均值不等式完全的均值不等式，冪平均不等式，權方和不等式，柯西不等式，切比雪夫不等式，琴生不等式等。
平方平均數又名均方根，英文縮寫為RMS。它是2次方的廣義平均數的表示式，也可稱為2次冪平均數。 ...
重要不等式和基本不等式分別是指：
1、重要不等式是指，一個數的二倍與另一個數的二倍之和一定大於或者等於這兩個數乘積的二倍，指在初等與高等數學中常用於計算與證明問題的不等式。包括，排序不等式、均值不等式、完全的均值不等式、冪平均不等式、權方和不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式、琴生不等式等；
2、基 ...
1、二維形式
(a^2＋b^2)(c^2+d^2)≥(ac+bd)^2，等號成立條件：ad=bc
2、三角形式
√(a^2＋b^2)＋√(c^2＋d^2)≥√[(a－c)^2＋(b－d)^2]，等號成立條件：ad=bc（注：“√”表示平方根）
3、向量形式
α||β|≥|α·β|，α= ...
一類：
a|≥a取=的條件是a≥0。
a|≥-a取=的條件是a≤0。
二類：三角形不等式。
基本式：|a+b|≤|a|+|b|取=的條件是ab≥0。
其它：
a-b|≤|a|+|b|取=的條件是ab≤0。
變形為|a+(-b)|≤|a|+|-b|再用基本式得到。
a+b|≥ ...
基本不等式成立的條件是一正二定三相等，必須是正數，在A+B為定值時便可以知道AB的最大值，在AB為定值時,就可以知道A+B的最小值，當且僅當A和B相等時，等號才成立。
基本不等式是主要應用於求某些函式的最值及證明的不等式。其表述為：兩個正實數的算術平均數大於或等於它們的幾何平均數。 ...
1、二維形式
(a^2＋b^2)(c^2 + d^2)≥(ac+bd)^2，等號成立條件：ad=bc
2、三角形式
√(a^2＋b^2)＋√(c^2＋d^2)≥√[(a－c)^2＋(b－d)^2]，等號成立條件：ad=bc（注：“√”表示平方根）
3、向量形式
|α||β|≥|α·β ...