函式連續和極限存在的關係

　　有極限不一定連續，但是連續一定有極限。一個函式連續必須有兩個條件，一個是在此處有定義，另外一個是在此區間內要有極限，因此說函式有極限是函式連續的必要不充分條件。

　　函式y=f(x)當自變數x的變化很小時，所引起的因變數y的變化也很小。例如氣溫隨時間變化，只要時間變化很小，氣溫的變化也是很小的；又如自由落體的位移隨時間變化，只要時間變化足夠短，位移的變化也是很小的，對於這種現象，我們說因變數關於自變數是連續變化的，可用極限給出嚴格描述，設函式y=f(x)在x0點附近有定義，如果有lim(x->x0)f(x)=f(x0)，則稱函式f在x0點連續。如果定義在區間I上的函式在每一點x∈I都連續，則說f在I上連續，此時，它在直角座標系中的影象是一條沒有斷裂的連續曲線。

　　在某點連續的有限個函式經有限次和，差，積，商(分母不為0)運算，結果仍是一個在該點連續的函式。連續單調遞增（遞減）函式的反函式，也連續單調遞增（遞減）。連續函式的複合函式是連續的。

　　根據函式在一個點上連續的定義，函式在在一個區間上連續的定義，可以知道函式在某一區間上連續，那麼函式在該區間“內”的每一點處一定存在極限。 函式在區間端點處的連續性指的是“單側連續性”，一定有相對應的單側極限。 函式在端點處不連續，也可能有單側極限。

　　導函式簡稱導數，極限是導數的前提，首先，導數的產生是從求曲線的切線這一問題而產生的，因此利用導數可以求曲線在任意一點的切線的斜率。其次，利用導數可以解決某些不定式極限，這種方法叫作“洛比達法則”。

　　極限的思想方法貫穿於數學分析課程的始終。可以說數學分析中的幾乎所有的概念都離不開極限。在幾乎所有的數學分析著作中，都是先介紹函數理論和極限的思想方法，然後利用極限的思想方法給出連續函式、導數、定積分、級數的斂散性、多元函式的偏導數，廣義積分的斂散性、重積分和曲線積分與曲面積分的概念。