利用微分方程證明尤拉公式

　　1、尤拉動力學方程是剛性動力學的重要方程。剛性動力學是一般力學的一個分支，研究剛體在外力作用下的運動規律。它是機器部件的運動，艦船、飛機、火箭等航行器的運動以及天體姿態運動的力學基礎。

　　2、剛體平動 剛體運動的簡單形態(見機械運動)。它在動力學上有兩層意義:當剛體滿足平動的動力學條件時 ，剛體所作的實際運動。剛體作一般運動時所分解出的平動部分。剛體平動時，其中各質點的軌跡、速度、加速度全一樣，所以可用剛體質心的運動來代表。應用質心運動定理 ，可建立剛體平動的運動微分方程式中M為剛體質量;為剛體質心加速度;F為作用在剛體上所有外力的主矢。剛體實際作平動的動力學條件是:F必須透過質心，且剛體繞質心的初始角速度為零。當不滿足上述條件之一時 ，剛體作一般運動。剛體平動的運動微分方程和質點的運動微分方程形式上完全一致。剛體動力學中有特徵的內容乃是對剛體轉動規律的研究。

　　1、尤拉公式容易理解的有兩個作用。一個是是用於多面體的,而另外—個是用於級數展開的。尤拉公式數學中起到至關作用的數字被它聯絡了起來,兩個超越數,自然對數的底e和圓周率π兩個單位,虛數單位和自然數的單位1以及人類數學史上最偉大的發現0。因此,在數學家的眼中,尤拉公式應是上帝的公式。

　　2、第一個證明尤拉公式的人是20歲的柯西,他透過多面體設想的方法肯定了尤拉公式存在的意義。尤拉公式的種變換,尤拉恆等式。它被稱作是數學中最美妙的一個公式。

　　尤拉公式推導如下。

　　1、尤拉公式是e^ix=cosx+isinx，e是自然對數的底，i是虛數單位。它將三角函式的定義域擴大到複數，建立了三角函式和指數函式的關係，它在複變函式論裡佔有非常重要的地位。

　　2、e^ix=cosx+isinx的證明： 因為e^x=1+x/1！+x^2/2！+x^3/3!+x^4/4!+…… cos x=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!…… sin x=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!…… 在e^x的展開式中把x換成±ix. (±i)^2=-1, (±i)^3=??i, (±i)^4=1 …… e^±ix=1±ix/1!-x^2/2!??x^3/3!+x^4/4!…… =(1-x^2/2!+……)±i(x-x^3/3!……) 所以e^±ix=cosx±isinx 將公式裡的x換成-x，得到： e^-ix=cosx-isinx，然後採用兩式相加減的方法得到： sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.這兩個也叫做尤拉公式。將e^ix=cosx+isinx中的x取作π就得到： e^iπ+1=0。