單調函式一定連續嗎

　　單調函式不一定連續。只要是一直增或一直減都行，比如y=-x（X0）這樣的函式在R上也是單調減的。但是注意比如y=1/x這個函式不是在R上單調的，分別在其兩個定義域上單調。

　　所謂的單調函式是指，對於整個定義域而言，函式具有單調性。而不是針對定義域的子區間而言。舉個例子，反比例函式是一個具有單調性的函式，而不是一個單調函式，因為在反比例函式的定義域上，並不呈現整體的單調性。單調函式只是單調性函式中特殊的一種。區間具有單調性的函式並不一定是單調函式，而單調函式的子區間上一定具有單調性。具有單調性函式可以根據區間不同而單調性不同。

　　可導函式的導函式不一定連續，可以有震盪間斷點，例如：把f(t)=sin(1/t)*t^2的可去間斷點t=0補充定義f(0)=0，得到的新函式可導，導函式在t=0處間斷。

　　在微積分學中,一個實變數函式是可導函式，若其在定義域中每一點導數存在。直觀上說，函式影象在其定義域每一點處是相對平滑的，不包含任何尖點、斷點。

　　關於函式的可導導數和連續的關係

　　1、連續的函式不一定可導。

　　2、可導的函式是連續的函式。

　　3、越是高階可導函式曲線越是光滑。

　　4、存在處處連續但處處不可導的函式。

　　左導數和右導數存在且“相等”，才是函式在該點可導的充要條件，不是左極限=右極限（左右極限都存在）。連續是函式的取值，可導是函式的變化率，當然可導是更高一個層次。

　　連續函式的導數不一定連續，在某點連續的有限個函式經有限次和、差、積、商（分母不為0）運算，結果仍是一個在該點連續的函式。連續單調遞增（遞減）函式的反函式，也連續單調遞增（遞減）。連續函式的複合函式是連續的。

　　連續函式是指函式y=f（x）當自變數x的變化很小時，所引起的因變數y的變化也很小。例如，氣溫隨時間變化，只要時間變化很小，氣溫的變化也是很小的；又如，自由落體的位移隨時間變化，只要時間變化足夠短，位移的變化也是很小的。對於這種現象，因變數關於自變數是連續變化的，連續函式在直角座標系中的影象是一條沒有斷裂的連續曲線。由極限的性質可知，一個函式在某點連續的充要條件是它在該點左右都連續。