收斂連續有界的關係

　　可微一定可導，可導一定連續。在二元函式中可微能夠推出偏導數存在，但偏導數存在不能推出可微。收斂可以推出有界，但有界不能推出收斂，必須是單調有界函式才收斂。總之，有界不一定收斂，收斂一定有界。單調有界連續函式一定收斂，單調函式不一定連續，也不一定有界。

　　補充：

　　收斂函式：若函式在定義域的每一點都收斂，則通常稱函式是收斂的。函式在某點收斂，是指當自變數趨向這一點時，其函式值的極限就等於函式在該點的值。

　　有界函式：對於定義域中的任意一個值，相應的函式值都在一個區間內變化

　　收斂級數是收斂的，一定有極限。

　　收斂級數是柯西於1821年引進的，它是指部分和序列的極限存在的級數。收斂級數分條件收斂級數和絕對收斂級數兩大類，其性質與有限和（有限項相加）相比有本質的差別，例如交換律和結合律對它不一定成立。

　　收斂級數的基本性質主要有：級數的每一項同乘一個不為零的常數後，它的收斂性不變；兩個收斂級數逐項相加或逐項相減之後仍為收斂級數；在級數前面加上有限項，不會改變級數的收斂性；原級數收斂，對此級數的項任意加括號後所得的級數依然收斂；級數收斂的必要條件為級數通項

　　收斂數列一定是有界的，收斂的數列{xn}，在n→∞時，xn→A，這個A是一個固定的極限值，是一個常數，所以必然有界。但這個有界不是說上下界都有，只有上界、或只有下界、或上下界都有均可以叫有界。

　　有界的數列不一定收斂，最簡單的例子xn=sin(n)，或者xn=(-1)^n，它們都是有界數列，但n→∞時，xn的極限不存在，所以不收斂。