為什麼動能的一階導數是動量的絕對值

　　動量定義為拉格朗日函式對速度的偏導數。經典力學裡自由質點的拉格朗日函式就等於其動能也就是它的哈密頓量等於拉格朗日量)，這個時候對速度求導就是動量。但這個關係並不是一直都是對的。一個反例是狹義相對論。狹義相對論的力學中自由質點的作用量是用時空間隔構造的，它的拉格朗日量和哈密頓量不相等，由其得到的廣義動量並不等於動能對速度的偏導數。

　　純粹的熱傳導或擴散方程就是一個laplace運算元外加源項，所以只有二階導，表示擴散項；一階導表示對流項，即速度梯度，表示因對流引起的變化，比如在對流傳質問題中二者都有，對流項就是考慮了物質流入流出而帶入帶走的物質，能量，所以也是由守恆定律得出的，在數值求解的時候僅由上游決定，所以不用想擴散項一樣在每一個步長內聯合求解。

　　二階導數，是原函式導數的導數，即將原函式進行二次求導，在幾何上表示切線斜率變化的速度，也就是一階導數的變化率，可以用來求函式的凹凸性，以及判斷函式極大值以及極小值，如果一個函式在某個區間上有二階導數大於0恆成立，那麼在區間上函式的圖象上的任意兩點連出的一條線段，這兩點之間的函式圖象都在該線段的下方，反之在該線段的上方，結合一階、二階導數可以求函式的極值。