等差等比求和的有2種，a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n}，或Sn=a1+a2+a3+.......+an等等。
例如等比求和：Sn=a1+a2+a3+.......+an。
①當q≠1時，Sn=a1(1-q^n)/(1-q)或Sn=(a1-an×q)÷(1-q)。
②當q=1時，Sn=n×a1（q=1）。
記πn=a1·a2…an，則有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1。
等比數列是指從第二項起，每一項與它的前一項的比值等於同一個常數的一種數列，常用G、P表示。這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，等比數列a1≠0。其中{an}中的每一項均不為0。注：q=1時，an為常數列。
等比數列中，求和公式是S=a1*（1-q的n次方）/1-q。a1是數列中的第一個數，數列中的數按照一定的順序排列，依次記作：a1，a2，a3，an。如果題目要將第一個數記作a，那麼a就相當於一般數列中的a1了。n指的是項數，從1到n-1，一共有n-1-（1-1）=n-1項，沒有第0項，所以不應該從0到n-1；從2到n-2項，一共有n-2-（2-1）=n-3項。
穿針乞巧
這是最早的乞巧方式，始於漢，流於後世。《西京雜記》說： 漢綵女常以七月七日穿七孔針於開襟樓，人具習之。 南朝梁宗謀《荊楚歲時記》說： 七月七日，是夕人家婦女結綵樓穿七孔外，或以金銀愉石為針。 《輿地志》說： 齊武帝起層城觀，七月七日，宮人多登之穿針。世謂之穿針樓。 五代王仁裕《開元天寶遺事》說： 七夕，宮中以錦結成樓殿，高百尺，上可以勝數十人，陳以瓜果酒炙，設坐具，以祀牛女二星，妃嬪各以九孔針五色線向月穿之，過者為得巧之侯。動清商之曲，宴樂達旦。土民之家皆效之。 元陶宗儀《元氏掖庭錄》說： 九引臺，七夕乞巧之所。至夕，宮女登臺以五彩絲穿九尾針，先完者為得巧，遲完者謂之輸巧，各出資以贈得巧者焉。
喜蛛應巧
這也是較早的一種乞巧方式，其俗稍晚於穿針乞巧，大致起於南北朝之時。南朝梁宗懍《荊楚歲時記》說； 是夕，陳瓜果於庭中以乞巧。有喜子網於瓜上則以為符應。
五代王仁裕《開元天寶遺事》說： 七月七日，各捉蜘蛛於小盒中，至曉開；視蛛網稀密以為得巧之侯。密者言巧多，稀者言巧少。民間亦效之 宋朝孟元老《東京夢華錄》說，七月七夕 以小蜘蛛安合子內，次日看之，若網圓正謂之得巧。 宋周密《乾淳歲時記》說； 以小蜘蛛貯合內，以候結網之疏密為得巧之多久 明田汝成《熙朝樂事》說，七夕 以小盒盛蜘蛛，次早觀其結網疏密以為得巧多寡。 由此可見，歷代驗巧之法不同，南北朝視網之有無、唐視網之稀密，宋視網之圓正，後世多遵唐俗。
投針驗巧
這是七夕穿針乞巧風俗的變體，源於穿針，又不同於穿針，是明清兩代的盛行的七夕節俗。明劉侗、於奕正的《帝京景物略》說： 七月七日之午丟巧針。婦女曝盎水日中，頃之，水膜生面，繡針投之則浮，看水底針影。有成雲物花頭鳥獸影者，有成鞋及剪刀水茄影者，謂乞得巧；其影粗如錘、細如絲、直如軸蠟，此拙徵矣。 《直隸志書》也說，良鄉縣（今北京西南） 七月七日，婦女乞巧，投針於水，借日影以驗工拙，至夜仍乞巧於織女 請于敏中《日下舊聞考》引《宛署雜記》說： 燕都女子七月七日以碗水暴日下，各自投小針浮之水面，徐視水底日影。或散如花，動如雲，細如線，粗租如錐，因以卜女之巧。
種生求子
舊時習俗，在七夕前幾天，先在小木板上敷一層土，播下粟米的種子，讓它生出綠油油的嫩苗，再擺一些小茅屋、花木在上面，做成田舍人家小村落的模樣，稱為 殼板 ，或將綠豆、小豆、小麥等浸於磁碗中，等它長出敷寸的芽，再以紅、藍絲繩紮成一束，稱為 種生 ，又叫 五生盆 或 生花盆 。南方各地也稱為 泡巧 ，將長出的豆芽稱為巧芽，甚至以巧芽取代針，拋在水面乞巧。還用蠟塑各種形象，如牛郎、織女故事中的人物，或禿鷹、鴛鴦、等動物之形，放在水上浮游，稱之為 水上浮 。又有蠟制的嬰兒玩偶，讓婦女買回家浮於水土，以為宜子之祥，稱為 化生 。
供奉 磨喝樂
磨喝樂是舊時民間七夕節的兒童玩物，即小泥偶，其形象多為傳荷葉半臂衣裙，手持荷葉。每年七月七日，在開封的 潘樓街東宋門外瓦子、州西梁門外瓦子、北門外、南朱雀門外街及馬行街內，皆賣磨喝樂，乃小塑土偶耳 。其實宋朝稍晚以後的磨喝樂，已不再是小土偶了，相反的，越作越精緻。磨喝樂的大小、姿態不一，最大的高至三尺，與真的小孩於相上下。製作的材料則有以象牙雕鏤或用龍延佛手香雕成的，磨喝樂的裝扮，更是極盡精巧之能事，有以彩繪木雕為欄座，或用紅砂碧籠當罩子，手中所持的玩具也多以金玉寶石來裝飾，一對磨喝樂的造價往往高達數千錢。緙絲七夕乞巧圖軸
拜織女
拜織女 純是少女、少婦們的事。她們大都是預先和自己朋友或鄰里們約好五六人，多至十來人，聯合舉辦。舉行的儀式，是於月光下襬一張桌子，桌子上置茶、酒、水果、五子（桂圓、紅棗、榛子、花生，瓜子）等祭品；又有鮮花幾朵，束紅紙，插瓶子裡，花前置一個小香爐。那麼，約好參加拜織女的少婦、少女們，齋戒一天，沐浴停當，準時都到主辦的家裡來，於案前焚香禮拜後，大家一起圍坐在桌前，一面吃花生，瓜子，一面朝著織女星座，默唸自己的心事。如少女們希望長得漂亮或嫁個如意郎、少婦們希望早生貴子等，都可以向織女星默禱。玩到半夜始散。
拜魁星
俗傳七月七日是魁星的生日。魁星文事，想求取功名的讀書人特別崇敬魁星，所以一定在七夕這天祭拜，祈求他保佑自己考運亨通。魁星爺就是魁鬥星，廿八宿中的奎星，為北斗七星的第一顆星，也魁星或魁首。古代士子中狀元時稱 大魁天下士 或 一舉奪魁 ，都是因為魁星主掌考運的緣故。
根據民間傳說，魁星爺生前長相奇醜，臉上長滿斑點，又是個跛腳。有人便寫了一首打油詩來取笑他：不揚何用飾鉛華，縱使鉛華也莫遮。娶得麻姑成兩美，比來蜂室果無差。鬚眉以下鴻留爪，口鼻之旁雁踏沙。莫是簷前貪午睡，風吹額上落梅花。相君玉趾最離奇，一步高來一步低。款款行時身欲舞，飄飄度處乎如口。只緣世路皆傾險，累得芳蹤盡側奇。莫笑腰枝常半折，臨時搖曳亦多姿。
然而這位魁星爺志氣奇高，發憤用功，竟然高中了。皇帝殿試時，問他何臉上全是斑點，他答道： 麻面滿天星 ；問他的腳為何跛了，他答道： 獨腳跳龍門 。皇帝很滿意，就錄取了他。
另一種完全不同的傳說，說魁星爺生前雖然滿腹學問，可惜每考必敗，便悲憤得投河自殺了。豈料竟被鱉魚救起，昇天成了魁星。因為魁星能左右文人的考運，所以每逢七月七日他的生日，讀書人都鄭重的祭拜。
曬書 曬衣
據載，司馬懿當年因位高權重，頗受曹操的猜忌，有鑑於當時政治的黑暗，為求自保，他邊裝瘋病躲在家裡。魏武帝仍然不大放心，就派了一個親信令史暗中探查真相。時值七月七日，裝瘋的司馬懿也在家中曬書。令史回去稟報魏武帝，魏武帝馬上下令要司馬懿回朝任職，否則即可收押。司馬懿只乖乖的遵命回朝。另有一種人，在亂世中，以放浪形骸來表達中的鬱悶。他們藐視禮法，反對時俗。劉義慶的《世說新語》卷二十五說，七月七日人人曬書，只有郝隆跑到太陽底下去躺著，人家問他為什麼，他回答： 我曬書 。這一方面是蔑視曬書的習俗，另一方面也是誇耀自己腹中的才學。曬肚皮也就是曬書。漢代曬衣的風俗在魏晉時為豪門富室製造了誇耀財富的機會。名列 竹林七賢 的阮咸就瞧不起這種作風。七月七日，當他的鄰居曬衣時，只見架上全是陵羅綢緞，光彩奪目。而阮咸不慌不忙的用竹竿挑起一件破舊的衣服，有人問他在幹什麼，他說： 未能免俗，聊復爾耳！ 由這幾則小故事看來，就知道當時七夕曬書、曬衣的風俗有多盛了。
賀牛生日
兒童會在七夕之日採摘野花掛在牛角上，叫做 賀牛生日 （傳說七夕是牛的生日）。
吃巧果
七夕的應節食品，以巧果最為出名。巧果又名 乞巧果子 ，款式極多。主要的材料巧果是油麵糖蜜。《東京夢華錄》中稱之為 笑厭兒 、 果食花樣 ，圖樣則有捺香、方勝等。宋朝時，市街上已有七夕巧果出售。
若購買一斤巧果，其中還會有一對身披戰甲，如門神的人偶，號稱 果食將軍 。巧果的做法是：先將白糖放在鍋中熔為糖漿，然後和入麵粉、芝麻，拌勻後攤在案上捍薄，晾涼後用刀切為長方塊，罪尤折為梭形面巧胚，入油炸至金黃即成。手巧的女子，還會捏塑出各種與七夕傳說有關的花樣。此外，乞巧時用的瓜果也可多種變化。或將瓜果雕成奇花異鳥，或在瓜皮表面浮雕圖案。稱為 花瓜
巧果及花瓜是最普通的七夕食品。而在歷史上各朝代則另有不同的食俗。例如魏朝流行於七月七日設湯餅。唐朝的節日食品包括七月七日進斫餅，並訂七月七日為曬書節，三省六部以下，各賜金若干，以備宴席之用，稱為 曬書會 。七夕同時也是適宜配藥的日子。據說一種以松柏為藥材的秘方，這種神奇的藥丸以七月七日的露水調配合成，服一丸可延長十年的壽命，服二丸可延二十年。此外，還有餌松實、服柏子、折荷葉等，均號稱為長生不老的仙藥。比較實用的藥方有曬槐汁治痔，煎苦瓜治眼，摘瓜蒂治下痢等等不一而足。其功效如何，就只有試過的人才知道了。