1、康託的連續統基數問題。 1874年，康託猜測在可數集基數和實數集基數之間沒有別的基數，即著名的連續統假設。1938年，僑居美國的奧地利數理邏輯學家哥德爾證明連續統假設與ZF集合論公理系統的無矛盾性。1963年，美國數學家科思證明連續統假設與ZF公理彼此獨立。因而，連續統假設不能用ZF公理加以證明。在這個意義下，問題已獲解決。
2、只根據合同公理證明等底等高的兩個四面體有相等之體積是不可能的。 問題的意思是存在兩個登高等底的四面體，它們不可能分解為有限個小四面體，使這兩組四面體彼此全等德思1900年已解決。
3、兩點間以直線為距離最短線問題。 此問題提的一般。滿足此性質的幾何很多，因而需要加以某些限制條件。1973年，蘇聯數學家波格列洛夫宣佈，在對稱距離情況下，問題獲解決。
1、泰勒斯看到人們都在看告示，便上去看，原來告示上寫著法老要找世界上最聰明的人來測量金字塔的高度。於是就找法老，法老問泰勒斯用什麼工具來量金字塔，泰勒斯說只用一根木棍和一把尺子，他把木棍插在金字塔旁邊，等木棍的影子和木棍一樣長的時候，他量了金字塔影子的長度和金字塔底面邊長的一半，把這兩個長度加起來就是金字塔的高度了，泰勒斯真是世界上最聰明的人，他不用爬到金字塔的頂上就方便量出了金字塔的高度;
2、戰國時期，齊威王與大將田忌賽馬，齊威王和田忌各有三匹好馬上馬，中馬與下馬，比賽分三次進行，每賽馬以千金作賭，由於兩者的馬力相差無幾，而齊威王的馬分別比田忌的相應等級的馬要好，所以一般人都以為田忌必輸無疑，但是田忌採納了門客孫臏的意見，用下馬對齊威王的上馬，用上馬對齊威王的中馬，用中馬對齊威王的下馬，結果田忌以2比1勝齊威王而得千金，這是我國古代運用對策論思想解決問題的一個範例。
1、《小石頭求積記》(數學童話故事)。
2、小石頭來到數學王國，想算算自己的體積。國王瞭解了小石頭的來意後，把它介紹給了體積大臣。
3、體積大臣朝小石頭上下打量了一番，只見它圓不圓，方不方，遍體是稜，滿身是角，沉思了半天，與小石頭商量說：“我看你還是先到石匠師傅那裡去一趟，加工成長方體也好，正方體也行，或者是圓柱體、圓錐體，這樣，我們就可以按照體積計算公式算出你的體積來了。”小石頭聽了，不好意思地說：“不瞞你說，我剛從石匠師傅那裡來，師傅說我是一塊稀有金屬礦石，渾身都是寶，一加工，勢必要造成損失。我今天來請教大臣，就我這個圓不圓、方不方的不規則模樣，能不能幫我計算一下體積呢?”
4、體積大臣對小石頭的這番請求感到有些為難，於是只好去向數學王子請教。數學王子畢竟年輕有為，腦子靈活，見到小石頭這副模樣，立即想起了古希臘數學家阿基米德用水測試皇冠含金量的故事，就把小石頭領進了圓柱體室。只見數學王子先在一隻圓柱體玻璃筒裡倒進適量的水，量一量水的高度，劃上標記;接著把小石頭放進這隻盛水的玻璃筒裡，水的高度隨即上升。數學王子讓體積大臣算出了上升部分的水圓柱體的體積。然後告訴小石頭說：“這一部分上升的水的圓柱體的體積就是你小石頭的體積。”
5、小石頭得到了滿意的答覆，高高興興地謝別了數學王子。