1、任何一個可逆矩陣都可以寫成一系列初等矩陣的乘積。
2、對矩陣A進行行初等變換，相當於左乘以一和初等矩陣，對A進行列初等變換，相當於右乘以一個初等矩陣。
3、對可逆矩陣A進行一系列的初等行變換，一定可以把A化為單位矩陣E，即存在矩陣P，使得PA=E。所以對分塊矩陣AE進行一系列初等行變換，化A為E，此時對E也進行同樣的初等行變換，所以即對AE左乘以矩陣P，所以PAE等於PAP等於EP，P就是A的逆矩陣。
1、任何一個可逆矩陣都可以寫成一系列初等矩陣的乘積。
2、對矩陣A進行行初等變換，相當於左乘以一和初等矩陣，對A進行列初等變換，相當於右乘以一個初等矩陣。
3、對可逆矩陣A進行一系列的初等行變換，一定可以把A化為單位矩陣E，即存在矩陣P，使得PA=E。所以對分塊矩陣AE進行一系列初等行變換，化A為E，此時對E也進行同樣的初等行變換，所以即對AE左乘以矩陣P，所以PAE等於PAP等於EP，P就是A的逆矩陣。
1、求逆矩陣不可以用列變換,因為透過初等行變換是在原矩陣右邊拼接一個同階的單位矩陣,透過初等列變換是在原矩陣下方拼接一個同階的單位矩陣。
2、設A是數域上的一個n階矩陣，若在相同數域上存在另一個n階矩陣B，使得： AB=BA=E ，則我們稱B是A的逆矩陣，而A則被稱為可逆矩陣。
逆矩陣是對方陣定義的，因此逆矩陣一定是方陣。設B與C都為A的逆矩陣，則有B=C，假設B和C均是A的逆矩陣，B=BI=B（AC）=（BA）C=IC=C，因此某矩陣的任意兩個逆矩陣相等。由逆矩陣的唯一性，A-1的逆矩陣可寫作（A-1）-1和A，因此相等。
矩陣A可逆，有AA-1=I。（A-1）TAT=（AA-1）T=IT=I，AT（A-1）T=（A-1A）T=IT=I
由可逆矩陣的定義可知，AT可逆，其逆矩陣為（A-1）T。而（AT）-1也是AT的.逆矩陣，由逆矩陣的唯一性，因此（AT）-1=（A-1）T。
性質：
①同結構的分塊上（下）三角形矩陣的和（差）、積（若乘法運算能進行）仍是同結構的分塊矩陣。
②數乘分塊上（下）三角形矩陣也是分塊上（下）三角形矩陣。
③分塊上（下）三角形矩陣可逆的充分必要條件是的主對角線子塊都可逆；若可逆，則的逆陣也是分塊上（下）三角形矩陣。
④分塊上（下）三角形矩陣對應的行列式。