將一n階可逆矩陣A和n階單位矩陣I寫成一個nX2n的矩陣對B施行初等行變換,即對A與I進行完全相同的若干初等行變換,目標是把A化為單位矩陣。當A化為單位矩陣I的同時,B的右一半矩陣同時化為了A的逆矩陣。
如果矩陣A和B互逆,則AB=BA=I。由條件AB=BA以及矩陣乘法的定義可知,矩陣A和B都是方陣。再由條件AB=I以及定理“兩個矩陣的乘積的行列式等於這兩個矩陣的行列式的乘積”可知,這兩個矩陣的行列式都不為0。
將一n階可逆矩陣A和n階單位矩陣I寫成一個nX2n的矩陣對B施行初等行變換,即對A與I進行完全相同的若干初等行變換,目標是把A化為單位矩陣。當A化為單位矩陣I的同時,B的右一半矩陣同時化為了A的逆矩陣。
如果矩陣A和B互逆,則AB=BA=I。由條件AB=BA以及矩陣乘法的定義可知,矩陣A和B都是方陣。再由條件AB=I以及定理“兩個矩陣的乘積的行列式等於這兩個矩陣的行列式的乘積”可知,這兩個矩陣的行列式都不為0。
逆矩陣是對方陣定義的,因此逆矩陣一定是方陣。設B與C都為A的逆矩陣,則有B=C,假設B和C均是A的逆矩陣,B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C,因此某矩陣的任意兩個逆矩陣相等。由逆矩陣的唯一性,A-1的逆矩陣可寫作(A-1)-1和A,因此相等。
矩陣A可逆,有AA-1=I。(A-1)TAT=(AA-1)T=IT=I,AT(A-1)T=(A-1A)T=IT=I
由可逆矩陣的定義可知,AT可逆,其逆矩陣為(A-1)T。而(AT)-1也是AT的.逆矩陣,由逆矩陣的唯一性,因此(AT)-1=(A-1)T。
性質:
①同結構的分塊上(下)三角形矩陣的和(差)、積(若乘法運算能進行)仍是同結構的分塊矩陣。
②數乘分塊上(下)三角形矩陣也是分塊上(下)三角形矩陣。
③分塊上(下)三角形矩陣可逆的充分必要條件是的主對角線子塊都可逆;若可逆,則的逆陣也是分塊上(下)三角形矩陣。
④分塊上(下)三角形矩陣對應的行列式。
矩陣的逆的求法:最簡單的辦法是用增廣矩陣。如果要求逆的矩陣是A,則對增廣矩陣(AE)進行初等行變換,E是單位矩陣,將A化到E,此時此矩陣的逆就是原來E的位置上的那個矩陣,原理是A逆乘以(AE)=(EA逆)初等行變換就是在矩陣的左邊乘以A的逆矩陣得到的。
性質定理:
1、可逆矩陣一定是方陣。
2、如果矩陣A是可逆的,其逆矩陣是唯一的。
3、A的逆矩陣的逆矩陣還是A。記作(A-1)-1=A。
4、可逆矩陣A的轉置矩陣AT也可逆,並且(AT)-1=(A-1)T(轉置的逆等於逆的轉置)
5、若矩陣A可逆,則矩陣A滿足消去律。即AB=O(或BA=O),則B=O,AB=AC(或BA=CA),則B=C。
6、兩個可逆矩陣的乘積依然可逆。
7、矩陣可逆當且僅當它是滿秩矩陣。