如何求過渡矩陣

　　求過渡矩陣方法：過渡矩陣是線性空間一個基到另一個基的轉換矩陣，即有(a1,...,an)=(b1,...,bn)P，因為b1,...,bn線性無關，所以r(P)=r(a1,...,an)=n（滿秩即可逆），故P是可逆矩陣。

　　線性空間中從一個基(α1，α2)變換到另一個基(β1，β2)，是透過原基(α1，α2)乘以一個矩陣P來實現的，這個矩陣P就稱為過渡矩陣。

　　逆矩陣是對方陣定義的，因此逆矩陣一定是方陣。設B與C都為A的逆矩陣，則有B=C，假設B和C均是A的逆矩陣，B=BI=B（AC）=（BA）C=IC=C，因此某矩陣的任意兩個逆矩陣相等。由逆矩陣的唯一性，A-1的逆矩陣可寫作（A-1）-1和A，因此相等。

　　矩陣A可逆，有AA-1=I。（A-1）TAT=（AA-1）T=IT=I，AT（A-1）T=（A-1A）T=IT=I

　　由可逆矩陣的定義可知，AT可逆，其逆矩陣為（A-1）T。而（AT）-1也是AT的.逆矩陣，由逆矩陣的唯一性，因此（AT）-1=（A-1）T。

　　性質：

　　①同結構的分塊上（下）三角形矩陣的和（差）、積（若乘法運算能進行）仍是同結構的分塊矩陣。

　　②數乘分塊上（下）三角形矩陣也是分塊上（下）三角形矩陣。

　　③分塊上（下）三角形矩陣可逆的充分必要條件是的主對角線子塊都可逆；若可逆，則的逆陣也是分塊上（下）三角形矩陣。

　　④分塊上（下）三角形矩陣對應的行列式。

　　將一n階可逆矩陣A和n階單位矩陣I寫成一個nX2n的矩陣對B施行初等行變換，即對A與I進行完全相同的若干初等行變換，目標是把A化為單位矩陣。當A化為單位矩陣I的同時，B的右一半矩陣同時化為了A的逆矩陣。

　　如果矩陣A和B互逆，則AB=BA=I。由條件AB=BA以及矩陣乘法的定義可知，矩陣A和B都是方陣。再由條件AB=I以及定理“兩個矩陣的乘積的行列式等於這兩個矩陣的行列式的乘積”可知，這兩個矩陣的行列式都不為0。