如何正確地理解貝特朗悖論

　　1899年，法國學者貝特朗提出了貝特朗悖論，矛頭直指幾何機率概念本身：在一給定圓內所有的弦中任選一條弦，求該弦的長度長於圓的內接正三角形邊長的機率。

　　悖論分析：

　　由於對稱性，可預先固定弦的一端。僅當弦與過此端點的切線的交角在60度到120度之間，其長才合乎要求。所有方向是等可能的，則所求機率為三分之一 。此時假定端點在圓周上均勻分佈；由於對稱性，可預先指定弦的方向。作垂直於此方向的直徑，只有交直徑於四分之一點與四分之三點間的弦，其長才大於內接正三角形邊長。所有交點是等可能的，則所求機率為二分之一。此時假定弦的中心在直徑上均勻分佈；弦被其中點位置唯一確定。只有當弦的中點落在半徑縮小了一半的同心圓內，其長才合乎要求。中點位置都是等可能的，則所求機率為四分之一。此時假定弦長被其中心唯一確定。這導致同一事件有不同機率，因此為悖論。

　　“節約悖論”是凱恩斯推廣的而流行的一種理論，雖然一直說早在1714年在蜜蜂的寓言，和類似的情緒可以追溯到古代，根據凱恩斯主義的國民收入決定理論，消費的變動會引起國民收入同方向變動，儲蓄的變動會引起國民收入反方向變動。但根據儲蓄變動引起國民收入反方向變動的理論，增加儲蓄會減少國民收入，使經濟衰退，是惡的；而減少儲蓄會增加國民收入，使經濟繁榮，是好的，這種矛盾被稱為"節約悖論"。

　　正確的，生日悖論指如果一個房間裡有23個或23個以上的人，那麼至少有兩個人的生日相同的機率要大於50%。這就意味著在一個典型的標準小學班級(30人)中，存在兩人生日相同的可能性更高。對於60或者更多的人，這種機率要大於99%。從引起邏輯矛盾的角度來說生日悖論並不是一種悖論，從這個數學事實與一般直覺相牴觸的意義上，它才稱得上是一個悖論。大多數人會認為，23人中有2人生日相同的機率應該遠遠小於50%。計算與此相關的機率被稱為生日問題，在這個問題之後的數學理論已被用於設計著名的密碼攻擊方法：生日攻擊。