實對稱矩陣的特徵向量一定正交嗎

　　實對稱矩陣的特徵向量一定正交。如果有n階矩陣A，其矩陣的元素都為實數，且矩陣A的轉置等於其本身（aij=aji）（i，j為元素的腳標），則稱A為實對稱矩陣。

　　矩陣是高等代數學中的常見工具，也常見於統計分析等應用數學學科中。在物理學中，矩陣於電路學、力學、光學和量子物理中都有應用；計算機科學中，三維動畫製作也需要用到矩陣。矩陣的運算是數值分析領域的重要問題。將矩陣分解為簡單矩陣的組合可以在理論和實際應用上簡化矩陣的運算。

　　對於實對稱矩陣不同特徵值的特徵向量一定正交，根據向量正交的概念，向量相乘為零，特徵向量和特徵子空間都有一定意義的唯一性，若一個矩陣沒有重特徵值，特徵向量唯一確定，只要可逆矩陣P的列不正交，D是沒有重特徵值的對角陣，則特徵向量不正交。

　　實對稱矩陣ab相似的充要條件它們有相同的特徵多項式。

　　A為方形矩陣是A為對稱矩陣的必要條件。對角矩陣都是對稱矩陣。兩個對稱矩陣的積是對稱矩陣，當且僅當兩者的乘法可交換。兩個實對稱矩陣乘法可交換當且僅當兩者的特徵空間相同。

　　若矩陣A滿足條件A=A'，則稱A為對稱矩陣。由定義知對稱矩陣一定是方陣，而且位於主對角線對稱位置上的元素必對應相等，即aij=aji對任意i，j都成立。

　　對稱矩陣中的元素關於主對角線對稱，故只要儲存矩陣中上三角或下三角中的元素，讓每兩個對稱的元素共享一個儲存空間。這樣，能節約近一半的儲存空間。