連續函式的導數一定連續嗎

　　函式連續偏導數不一定存在。因為偏導數存在只能保證函式在某個方向上是連續的，比如關x連續，關y連續，但是實際上，多元函式連續，其極限手段比較複雜比較多，可能是四面八方各個方向。

　　函式y=f(x)當自變數x的變化很小時，所引起的因變數y的變化也很小。例如，氣溫隨時間變化，只要時間變化很小，氣溫的變化也是很小的;又如，自由落體的位移隨時間變化，只要時間變化足夠短，位移的變化也是很小的，對於這種現象，我們說因變數關於自變數是連續變化的，可用極限給出嚴格描述:設函式y=f(x)在x0點附近有定義，如果有lim(x->x0)f(x)=f(x0)，則稱函式f在x0點連續。如果定義在區間I上的函式在每一點x∈I都連續，則說f在I上連續，此時，它在直角座標系中的影象是一條沒有斷裂的連續曲線。

　　連續函式的導數不一定連續，在某點連續的有限個函式經有限次和、差、積、商（分母不為0）運算，結果仍是一個在該點連續的函式。連續單調遞增（遞減）函式的反函式，也連續單調遞增（遞減）。連續函式的複合函式是連續的。

　　連續函式是指函式y=f（x）當自變數x的變化很小時，所引起的因變數y的變化也很小。例如，氣溫隨時間變化，只要時間變化很小，氣溫的變化也是很小的；又如，自由落體的位移隨時間變化，只要時間變化足夠短，位移的變化也是很小的。對於這種現象，因變數關於自變數是連續變化的，連續函式在直角座標系中的影象是一條沒有斷裂的連續曲線。由極限的性質可知，一個函式在某點連續的充要條件是它在該點左右都連續。

　　偏導存在不一定連續。在數學中，一個多變數的函式的偏導數，就是它關於其中一個變數的導數而保持其他變數恆定。偏導數在向量分析和微分幾何中是很有用的。在一元函式中，導數就是函式的變化率。對於二元函式的“變化率”，由於自變數多了一個，情況就要複雜的多，於是就要引入偏導數。偏導數反映的是函式沿座標軸正方向的變化率。偏導數的表示符號為∂。