函式的單調性也叫函式的增減性,可以定性描述在一個指定區間內,函式值變化與自變數變化的關係。定義為當函式fx的自變數在其定義區間內增大時,函式值也隨著增大,當函式fx的自變數在其定義區間內減小時,函式值也隨著減小,則稱該函式為在該區間上具有單調性。在集合論中,在有序集合之間的函式,如果它們保持給定的次序,是具有單調性的。
函式的單調性也叫函式的增減性,可以定性描述在一個指定區間內,函式值變化與自變數變化的關係。定義為當函式fx的自變數在其定義區間內增大時,函式值也隨著增大,當函式fx的自變數在其定義區間內減小時,函式值也隨著減小,則稱該函式為在該區間上具有單調性。在集合論中,在有序集合之間的函式,如果它們保持給定的次序,是具有單調性的。
1、導數法:首先對函式進行求導,令導函式等於零,得X值,判斷X與導函式的關係,當導函式大於零時是增函式,小於零是減函式。
2、定義法:設x1,x2是函式f(x)定義域上任意的兩個數,且x1<x2,若f(x1)<f(x2),則此函式為增函式;反知,若f(x1)>f(x2),則此函式為減函式。
3、性質法:若函式f(x)、g(x)在區間B上具有單調性,則在區間B上有:① f(x)與f(x)+C(C為常數)具有相同的單調性;②f(x)與c?f(x)當c>0具有相同的單調性,當c<0具有相反的單調性;③當f(x)、g(x)都是增(減)函式,則f(x)+g(x)都是增(減)函式;④當f(x)、g(x)都是增(減)函式,則f(x)?g(x)當兩者都恆大於0時也是增(減)函式,當兩者都恆小於0時也是減(增)函式。
4、複合函式同增異減法:對於複合函式y=f [g(x)]滿足“同增異減”法(應注意內層函式的值域),令 t=g(x),則三個函式 y=f(t)、t=g(x)、y=f [g(x)]中,若有兩個函式單調性相同,則第三個函式為增函式;若有兩個函式單調性相反,則第三個函式為減函式。
用定義求解:證明函式單調性一般用定義,如果函式解析式異常複雜或者具有某種特殊形式,可以採用函式單調性定義的等價形式證明。另外還要注意函式單調性的定義是充要命題。用導函式求解:高三選修課本有導數及其應用,用導數求函式的單調區間一般是非常簡便的。 還應注意函式單調性的應用,例如求極值、比較大小,還有和不等式有關的問題。