什麼矩陣可以相似對角化

　　矩陣相似對角化的條件是n階方陣存在n個線性無關的特徵向量。如果這個n階方陣有n個不同的特徵值，那麼矩陣必然存在相似矩陣。如果階n方陣存在重複的特徵值，每個特徵值的線性無關的特徵向量的個數恰好等於該特徵值的重複次數。

　　可對角化矩陣是線性代數和矩陣論中重要的一類矩陣。如果一個方塊矩陣A相似於對角矩陣，也就是說，如果存在一個可逆矩陣P對角矩陣，則它就被稱為可對角化的。如果V是有限維度的向量空間，則線性對映T存在V→V被稱為可對角化的，如果存在V的一個基，T關於它可被表示為對角矩陣。對角化是找到可對角化矩陣或對映的相應對角矩陣的過程。

　　n階矩陣要能對角化，要求能找到n個不相關的特徵向量。如果矩陣的n個特徵值都不相同，那麼一定能對角化。（不同特徵值對應的特徵向量一定不相關）

　　可對角化矩陣是線性代數和矩陣論中重要的一類矩陣。如果一個方塊矩陣A相似於對角矩陣，也就是說，如果存在一個可逆矩陣P使得P（-1）AP是對角矩陣，則它就被稱為可對角化的。如果V是有限維度的向量空間，則線性對映T：V→V被稱為可對角化的，如果存在V的一個基，T關於它可被表示為對角矩陣。對角化是找到可對角化矩陣或對映的相應對角矩陣的過程。

　　可對角化矩陣和對映線上性代數中有重要價值，因為對角矩陣特別容易處理：它們的'特徵值和特徵向量是已知的，並透過簡單的提升對角元素到同樣的冪來把一個矩陣提升為它的冪。

　　若爾當-謝瓦萊分解表達一個運算元為它的對角部分與它的冪零部分的和。

　　實對稱可以相似對角化是因為實對稱陣的特徵值都是實數，所以n階陣在實數域中就有n個特徵值（包括重數），並且實對稱陣的每個特徵值的重數和屬於無關的特徵向量的個數是一樣的，從而n階矩陣共有n個無關特徵向量，所以可對角化。

　　實對稱矩陣的主要性質：

　　1、實對稱矩陣A的不同特徵值對應的特徵向量是正交的。

　　2、實對稱矩陣A的特徵值都是實數，特徵向量都是實向量。

　　3、n階實對稱矩陣A必可對角化，且相似對角陣上的元素即為矩陣本身特徵值。

　　4、若λ0具有k重特徵值，必有k個線性無關的特徵向量，或者說必有秩r（λ0E-A）=n-k，其中E為單位矩陣。