如何證明三角形三條中線交於一點

　　在△ABC中，BD為AC中線，CE為AB中線，BD、CE交於點O，證BC的中線AF過點O；

　　延長AO交BC於F'，作BG平行EC交AO延長線於G，則因E為AB中點，所以O為AG中點；

　　連線GC，則在三角形AGC中，OD是中位線，BD平行GC，所以BOCG為平行四邊形；

　　F'平分BC，F'與F重合。BC的中線AF過點O。

　　三角形中線的性質：

　　1、三角形中中線的交點為重心，重心分中線為2：1（頂點到重心：重心到對邊中點）。

　　2、在一個直角三角形中，直角所對應的邊上的中線為斜邊的一半。

　　3、任意三角形的三條中線把三角形分成面積相等的六個部分。中線都把三角形分成面積相等的兩個部分。除此之外，任何其他透過中點的直線都不把三角形分成面積相等的兩個部分。

　　三角形三條高交於一點連結一頂點和兩高交點的線垂直於第三邊，運用四點共圓性質來證明，三角形是由同一平面內不在同一直線上的三條線段‘首尾’順次連線所組成的封閉圖形，在數學、建築學有應用。

　　常見的三角形按邊分有普通三角形（三條邊都不相等），等腰三角（腰與底不等的等腰三角形、腰與底相等的等腰三角形即等邊三角形）；按角分有直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形等，其中銳角三角形和鈍角三角形統稱斜三角形。

　　三角形三邊中線的交點是三角形重心。三角形重心的性質：重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2。重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。重心到三角形3個頂點距離平方的和最小。

　　重心

　　三條中線定相交，交點位置真奇巧，交點命名為“重心”，重心性質要明瞭。

　　重心分割中線段，數段之比聽分曉，長短之比二比一，靈活運用掌握好。

　　外心

　　三角形有六元素，三個內角有三邊，作三邊的中垂線，三線相交共一點。

　　此點定義為外心，用它可作外接圓，內心外心莫記混，內切外接是關鍵。

　　垂心

　　三角形上作三高，三高必於垂心交，高線分割三角形，出現直角三對整。

　　直角三角形有十二，構成六對相似形，四點共圓圖中有，細心分析可找清。

　　內心

　　三角對應三頂點，角角都有平分線，三線相交定共點，叫做“內心”有根源。

　　點至三邊均等距，可作三角形內切圓，此圓圓心稱“內心”，如此定義理當然。