級數收斂的必要條件:通項an趨於0。一般驗證一個級數是否收斂,首先看通項an是否趨於0,若不滿足這條則可以判斷該級數發散。如果這條滿足,並不能保證級數收斂。
級數是指將數列的項依次用加號連線起來的函式。典型的級數有正項級數、交錯級數、冪級數、傅立葉級數等。級數理論是分析學的一個分支;它與另一個分支微積分學一起作為基礎知識和工具出現在其餘各分支中。二者共同以極限為基本工具,分別從離散與連續兩個方面,結合起來研究分析學的物件,即變數之間的依賴關係──函式。
級數收斂的必要條件:通項an趨於0。一般驗證一個級數是否收斂,首先看通項an是否趨於0,若不滿足這條則可以判斷該級數發散。如果這條滿足,並不能保證級數收斂。
級數是指將數列的項依次用加號連線起來的函式。典型的級數有正項級數、交錯級數、冪級數、傅立葉級數等。級數理論是分析學的一個分支;它與另一個分支微積分學一起作為基礎知識和工具出現在其餘各分支中。二者共同以極限為基本工具,分別從離散與連續兩個方面,結合起來研究分析學的物件,即變數之間的依賴關係──函式。
冪級數收斂的判別方法:∑x^(2n+1)/(2n+1),
收斂半徑R=lima/a=lim[2(n+1)+1]/(2n+1)=lim(2n+3)/(2n+1)=1。
當x=1時,冪級數變為∑1/(2n+1)。
>∑1/[2(n+1)]=(1/2)∑1/(n+1)。
後者發散,則級數發散;
當x=-1時,冪級數變為-∑1/(2n+1)。
因∑1/(2n+1)發散,則級數發散。
故收斂域是x∈(-1,1)。
即x∈(-1,1)時收斂,x∈(-∞,-1]∪[1,+∞)時發散。
建議:用比較判別法判斷級數的收斂性時,通常構造另一級數。根據另一級數判斷所求級數的斂散性。
常數項級數收斂的判定方法:比較審斂法、p級數的斂散性、p級數與正項等比級數的對比。其中收斂級數分條件收斂級數和絕對收斂級數兩大類,其性質與有限和(有限項相加)相比有本質的差別,例如交換律和結合律對它不一定成立,收斂級數概念是柯西於1821年引進的。收斂級數的基本性質主要有:級數的每一項同乘一個不為零的常數後,它的收斂性不變。兩個收斂級數逐項相加或逐項相減之後仍為收斂級數。