冪級數是常數項級數。冪級數,是數學分析當中重要概念之一,是指在級數的每一項均為與級數項序號n相對應的以常數倍的(x-a)的n次方(n是從0開始計數的整數,a為常數)。
多項式中,每個單項式上不含字母的項叫常數項,常數是指固定不變的數值。就是除了字母以外的任何數,包括正負整數和正負小數、分數、0和無理數(如π)。如圓的周長和直徑的比π﹑鐵的膨脹係數0.000012等。
冪級數是常數項級數。冪級數,是數學分析當中重要概念之一,是指在級數的每一項均為與級數項序號n相對應的以常數倍的(x-a)的n次方(n是從0開始計數的整數,a為常數)。
多項式中,每個單項式上不含字母的項叫常數項,常數是指固定不變的數值。就是除了字母以外的任何數,包括正負整數和正負小數、分數、0和無理數(如π)。如圓的周長和直徑的比π﹑鐵的膨脹係數0.000012等。
冪級數收斂的判別方法:∑x^(2n+1)/(2n+1),
收斂半徑R=lima/a=lim[2(n+1)+1]/(2n+1)=lim(2n+3)/(2n+1)=1。
當x=1時,冪級數變為∑1/(2n+1)。
>∑1/[2(n+1)]=(1/2)∑1/(n+1)。
後者發散,則級數發散;
當x=-1時,冪級數變為-∑1/(2n+1)。
因∑1/(2n+1)發散,則級數發散。
故收斂域是x∈(-1,1)。
即x∈(-1,1)時收斂,x∈(-∞,-1]∪[1,+∞)時發散。
建議:用比較判別法判斷級數的收斂性時,通常構造另一級數。根據另一級數判斷所求級數的斂散性。
缺項冪級數求收斂半徑應該開根號,收斂半徑r是一個非負的實數或無窮大,使得在|z-a|r時冪級數發散。具體來說,當z和a足夠接近時,冪級數就會收斂,反之則可能發散。收斂半徑就是收斂區域和發散區域的分界線。在|z-a|=r的收斂圓上,冪級數的斂散性是不確定的:對某些z可能收斂,對其它的則發散。如果冪級數對所有複數z都收斂,那麼說收斂半徑是無窮大。